Stabilitaet stochastischer dynamischer Systeme

Stability of stochastic dynamical systems.

Lohmann, G., 1992, Diplomthesis at the Philipps-University Marburg (Germany), 146 pp..


 
 

  • Einleitung und Zusammenfassung der Diplomarbeit


    In dieser Arbeit soll die Stabilit?t dynamischer Systeme mit '' Rauschen '' untersucht werden. Die Stabilit?t eines Systems ist ein wichtiger Begriff, der das qualitative Langzeitverhalten einer Dynamik beschreibt. Rauschen ist in der Regel ein unerw?nschter Effekt in der Physik, da es die reproduzierbaren physikalischen Ergebnisse ''verschmiert''. Verrauschte Systeme haben etwas mit Unsicherheit zu tun, die eine inh?rente Systemeigenschaft ist oder durch die eine nicht n?her beschreibbare Einwirkung einer Umgebung des Systems formuliert wird.

    Der Prototyp eines Rauschprozesses ist die sogenannte Brownsche Bewegung. Man geht dabei von der Vorstellung aus, da? sich schwere und leichte Teilchen in ein Gef?? befinden, die Konzentration der schweren Teilchen soll als sehr klein angenommen werden, so da? praktisch keine St??e unter den schweren Teilchen vorkommen. Der Impuls eines schweren Teilchens ?ndert sich durch den Sto? mit ein leichten Teilchen wenig. Im Vergleich zur Zeitskala der St??e ist der Impuls der gro?en Teilchen eine sehr langsam ver?nderliche Gr??e. Man wird also folgendes beobachten:
    Die schweren Teilchen werden ihren Ort im wesentlichen beibehalten, aber durch die leichten Teilchen $\delta-$f?rmige Impulse zu sp?ren bekommen. Das schwere Teilchen bewegt sich deterministisch, verschiedene Realisierungen dieser Bewegung sehen unterschiedlich aus. Nur einige Eigenschaften des Ensembles (der Gesamtheit gleichartiger Systeme), wie Mittelwert und Standardabweichung usw. k?nnen als Systemeigenschaft angesehen werden. Diese statistischen Eigenschaften charakterisieren das System, da sie bereits die wesentlichen Merkmale des Systems beinhalten. Dieser Sachverhalt ist typisch f?r statistische Systeme. Dieses wird in Kapitel 1, insbesondere in Abschnitt 1.2, n?her erl?utert.

    Es ist oft so, da? weniger Informationen (z.B. Me?daten) ?ber ein System verf?gbar sind, als man br?uchte, um die gesamte Dynamik des Systems zu kennen und Vorhersagen zu machen. Man ist daher auf eine stochastische Beschreibung notgedrungen angewiesen. Die wichtigen Charakteristika der Dynamik sollen durch die stochastische Modellierung trotz der fehlenden Information wiedergegeben werden. In dieser Situation ist man nicht nur in der Physik, auch in der Ökologie, Ökonomie, Meteorologie usw. sind stochastische Modelle den Probl en oft angemessener als deterministische, da sie die Verst?mmelungen der Dynamik auf wenige Freiheitsgrade ber?cksichtigen.

    Als Beispiel f?r ein System aus Physik und Meteorologie kann das in Kapitel 6 behandelte Rayleigh-B?nard-Problem mit stochastischen Randbedingungen dienen. Dort wird der Einflu? von extern Rauschen auf die Stabilit?t seigenschaften des Systems behandelt. Die Stabilit?tsverh?ltnisse dieses Systems, das durch Galerkinapproximationen auf die Dynamik von wenigen Moden reduziert wird, ?ndern sich durch stochastische Einwirkungen auf die Randbedingungen.

    Bei stochastischen Modellen mu? unterschieden werden zwischen:
    Deterministischen Systemen mit zuf?lligen Anfangsbedingungen.
    Frage: Wie entwickelt sich eine Anfangsverteilung im Laufe der Zeit?
    Die Stabilit?t der Gleichgewichtsdichte kann durch Analyse eines deterministischen Systems gezeigt werden (Bell). Deterministischen Systemen mit zeitunabh?ngigen zuf?lligen Parametern. Hier kann der Proze? realisierungsweise, d.h. f?r jeden Zufallsparameterwert, deterministisch analysiert werden (Bunke, Kozin).

    Au?erdem k?nnen Kombinationen der beiden F?lle auftreten: Ein System mit der Dynamik $ \dot x = f (x,t;y(t)) $, wobei $y(t) $ ein Proze? mit zuf?lligen Parametern ist. Die Anfangsbedingungen von $x$ und $y$ haben eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der St?rproze? wirkt zeitabh?ngig auf das System, z.B. Diffusionsvorg?nge. Eine h?ufige Annahme ist hier eine Ged?chtnisfreiheit ( Markoveigenschaft) des Prozesses. Mit der Annahme der Ged?chtnisfreiheit hat man noch ein einfaches Ursache-Wirkung-Prinzip. Es wird sich in Abschnitt 2.3 zeigen, da? daraus die Existenz einer dynamischen Halbgruppe von Ma?en folgt.

    Ich beschr?nke die Analyse auf zeitabh?ngige Zufallsprozesse, die kontinuierlich und stetig in der Zeit sind. Den betrachteten Systemen liegen Dynamiken der Art \dot x = f(x,t) + \sigma(x,t) \xi_t(\omega) \quad x_0=c , \quad x \in \Rd zugrunde, $ \xi_t$ ist ein noch n?her zu spezifizierender Zufallsproze?.
    $\xi_t$ wird oft als ''Gau?isches wei?es Rauschen'' angenommen, was eine starke mathematische Vereinfachung eines physikalischen Zufallsprozesses darstellt. Die Analyse des L?sungsprozesses wird durch diese Annahme sehr vereinfacht, in den Abschnitten 3.7, 3.11 und 6.7 wird darauf n?her eingegangen.

    Ausgangspunkt dieser Arbeit war die Frage, wie die Stabilit?t eines stochastischen Prozesses angemessen formuliert werden kann. Seit den 60er Jahren gibt es eine gro?e Anzahl von Ver?ffendlichungen zu dieser Fragestellung. Verschiedene Autoren (Has'minskii, Kozin, Kushner) versuchten, Überblicke ?ber stochastische Stabilit?t zu geben. Es soll versucht werden, neuere Entwicklungen zur stochastischen Stabilit?t aus den Bereichen der Ergodentheorie, Martingaltheorie und Lyapunovtheorie mit Ber?ksichtigung physikalischer Fragestellungen zusammenzustellen.

    Da man sehr unterschiedliche Stabilit?tsbegriffe in stochastischen Systemen vorfindet, ist es notwendig, die in der Literatur vorhandenen Konzepte gegen?berzustellen, zu erweitern und zu vergleichen. Es zeigt sich, da? die in der Literatur benutzten Stabilit?tsbegriffe sorf?ltig interpretiert werden m?ssen und nicht ohne weiteres zu vergleichen sind. Im stochastischen Kontext ist die Palette der Stabilit?tsbegriffe vielf?ltiger als im deterministischen. Es werden die qualitativen Konzepte, die sich im deterministischen Fall bew?hrt haben, wie etwa Lyapunovstabilit?t, Linearisierung, Bifurkation, Lagrangestabilit?t und Rekurrenzeigenschaften ?bertragen und durch andere Fragestellungen, die im Stochastischen hinzukommen, erg?nzt. Wegen der F?lle der Literatur auf diesem Gebiet erwies es sich als zweckm??ig, vor den eigentlichen physikalischen Analysen die Begriffe zur stochastischen Stabilit?t zu kl?ren und die wichtigsten mathematischen S?tze erl?uternd zu zitieren. Dadurch wird die sp?tere Behandlung der konkreten physikalischen Fragestellungen von mathematisch Beiwerk entlastet und ein allgemeiner Rahmen gegeben.

    Der Gang der Untersuchung und damit der Aufbau der Arbeit ergibt sich aus folgenden Überlegungen zur Methodik:
    In Kapitel 1 wird erl?utert, warum in der Physik nichtdeterministische Modelle relevant sind. Insgesondere geht es um die allg einen Probl e einer konsequenten Beschreibung von Vielteilchensystemen. Zwischen der makroskopischen und mikroskopischen Beschreibungsebene liegt das weite Feld der sogenannten mesoskopischen Modellierung. Diese mesoskopische Beschreibung geht von den ph?nomenologischen Gleichungen der Makrophysik (z.B. Thermodynamik, Hydrodynamik) aus, ber?ksichtigt aber die Schwankungen in dies System, die aufgrund der statistischen Natur von Vielteilchensystemen vorhanden sind.

    Die verschiedene Zeitskalen, die beim Übergang zwischen den Beschreibungsebenen zu beachten sind, werden sich als wichtige Einflu?gr??en erweisen. Um den G?ltigkeitsbereich der Beschreibung mit (markovschen) Stochastische Differentialgleichungen (oder: Langevingleichungen) in der Statistischen Physik einzugrenzen, werden verschiedene Überg?nge, die in der Literatur behandelt werden, zusammengefa?t und in einer ?bersichtlichen Form veranschaulicht.

    Der Stand der Literatur zeigt, da? die statistische Betrachtungsweise von Vielteilchensystemen einen geeigneten Weg darstellt, Schwankungen von relevanten makroskopischen Gr??en zu beschreiben. Ein wichtiges Analyseintrument bietet dabei die in letzten Jahren immer weiter verfeinerte Theorie der Stochastische Differentialgleichungen. Zur mathematischen Fundierung der physikalischen Betrachtungen wird in Kapitel 2 eine sehr kurze Einf?hrung in die Theorie der stochastischen Prozesse gegeben, insbesondere unter dem Aspekt der stochastischen Stabilit?t. In Kapitel 3 wird der stochastische Proze? von unterschiedlichen Blickwinkeln (Entwicklung von Ma?en, Dichten, Elementen des $ \Rd $ usw. ) betrachtet, diese Betrachtungen spielen f?r die Stabilit?tsuntersuchung eine wesentliche Rolle, da sie ganz unterschiedliche Stabilit?tsaussagen induzieren.

    Im 3. Kapitel werden die Konzepte von stochastischer Stabilit?t vorgestellt. Hinter den verschiedenen Konzepten stehen Fragestellungen von verschiedenen Objekten:
    Stabilit?ts- und Instabilit?tsaussagen von Bereichen im Phasenraum
    Stabilit?t von Trajektorien im Raum der zul?ssigen Pfade
    Stabilit?t von Ma?en bzw. Dichten
    Stabilit?t von Momenten
    Es soll versucht werden, anhand dieser Überlegungen den Begriff der stochastischen Stabilit?t zu fassen. Es werden die Konsequenzen und N?tzlichkeit f?r physikalische Systeme diskutiert. Verschiedene Stabilit?t sdefinitionen k?nnen zu ganz unterschiedlichen physikalischen Aussagen f?hren. Dieses wird an den in den Kapiteln 3 und 6 behandelten Systemen bei dem Begriff ''Bifurkation'' deutlich.

    In den folgenden Kapiteln 4, 5 und 6 werden konkrete Dynamiken auf Stabilit?t untersucht. Die Konzepte, die vorher im allg einen Rahmen vorgestellt wurden, bew?hren sich an den Stabilit?t sanalysen der untersuchten Dynamiken. Nichtlineare stochastische Oszillatoren wurden in der Literatur vielf?ltig behandelt. Die Ergebnisse werden in Kapitel 4 zusammengestellt und durch eigene erg?nzt. Im 5. Kapitel werden die Aspekte der nichtlinearen Stabilit?t sanalyse und der Bifurkation anhand der Dynamik eines parametrisch verrauschten Lorenzmodells untersucht. Anhand dieser Dynamik wird ex plarisch gezeigt, wie eine lokale und globale Stabilit?tsanalyse in einer stochastischen Dynamik durchgef?hrt werden kann.

    In Kapitel 6 wird der Einflu? von stochastischen Randbedingungen auf das Rayleigh-B?nard-Problem untersucht. Auch dort stellt sich herraus, da? eine saubere Definition von Stabilit?t, insbesondere von Bifurkationen, unerl??lich f?r eine physikalische Interpretation ist. Dort soll der Umschlag zwischen W?rmeleitung und Konvektion betrachtet werden. Es stellt sich herraus, da? ?u?ere Schwankungen der Temperaturdifferenz die W?rmeleitung stabilisieren. Diese Analyse stimmt qualitativ mit den in Davis (1976) zitierten Ergebnissen ?berein, wo zeitlich periodische Schwankungen der Parameter untersucht werden. In der deterministischen Analyse ist mit der Boussinesq-Approximation der Übergang zwischen W?rmeleitung und Konvektion nur von dem einen Parameter, der Rayleighzahl, abh?ngig. Als Parameter im stochastischen Modell bestimmen die drei Parameter Rayleighzahl, Rauschst?rkezahl und Prandtlzahl den Übergang.